У меня есть долг, но запрет на выезд не установлен, будут ли проверять долги и выпустят ли на границе в Абхазию?

Да, выпустят. Само по себе наличие долгов по закону не является основанием для запрета не выпускать вас за границу, пока такое решение не вынесено судебным приставом или судом, а это довольно долгая история. Так что можете спокойно ехать, а долги погасите, когда вернетесь. А вообще подробнее о том, можно ли выехать в Абхазию с долгами мы уже все подробно рассказали здесь - https://nashaplaneta.net/europe/abkhazia/art-mozhno-li-vyekhat-v-abkhaziyu-s-dolgami

Работают ли в Абхазии банковские карты?
Нужна ли нотариальная доверенность на машину?
Где в Абахзии песчаный пляж?
Заходите по ссылке, все эти вопросы обсуждают в чате - https://t.me/abhazia_travel_chat